百家樂抽水怎麼算？莊閒和機率與退水對期望值(EV)的完整數學拆解

很多玩百家樂的人都聽過「莊家抽5%」這個說法，但很少人真正算過：這5%的抽水（Commission），到底讓期望值（EV）掉了多少？又為什麼莊家明明贏的次數比閒家多，賭場卻還要額外抽一筆錢？這篇文章不談運氣與手感，純粹用莊閒和機率與期望值公式，把退水對EV的影響完整算一次給你看，也順便說明為什麼任何下注系統都無法把這個數學結構反過來。

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先搞懂規則：莊閒和與補牌邏輯

百家樂每局開局都是莊家、閒家各拿兩張牌，點數算法是A算1點、10／J／Q／K算0點，其餘照牌面數字計算，牌值總和只取個位數（例如8+7=15，算5點）。兩家拿到前兩張牌之後，誰的點數比較接近9點就贏，是否需要補第三張牌則依固定的補牌規則判斷，規則本身不是莊家或閒家自己決定，而是依雙方前兩張牌的點數組合，照一套公開、固定的表格執行，簡化邏輯大致如下：

• 閒家前兩張牌點數0～5：補一張牌；6～7：不補牌。
• 莊家是否補牌，則同時要看閒家有沒有補牌、閒家補的第三張牌是什麼點數，再對照補牌表決定。
• 任一方前兩張牌出現8點或9點（天牌），雙方都不再補牌，直接比牌。

這套補牌規則雖然看起來繁瑣，但因為是固定、公開、可驗證的規則，所以整個遊戲的結果機率，理論上是可以用組合數學完整算出來的，不需要靠「牌路」或「手感」去猜。

標準理論機率：莊45.86%、閒44.62%、和9.52%

在標準8副牌、依照上述補牌規則運作的前提下，百家樂數學文獻中廣泛引用的理論機率值大致是：莊家勝約45.86%、閒家勝約44.62%、和局約9.52%。這些數值是對整副牌所有可能發牌組合進行完整枚舉或大量驗證模擬後得出的公開理論結果，不同文獻在小數點後一、兩位可能會因為切牌、棄牌張數等細節假設略有差異，但大方向的比例關係是一致的，本文直接引用這組公開數值作為後續計算的基礎，並未在本站另外重新執行獨立模擬，這點必須先說清楚，避免讀者誤以為是本站獨家測試結果。

值得注意的是，單純比較「誰贏的次數多」，莊家（45.86%）其實是略高於閒家（44.62%）的，如果沒有任何抽水機制，長期下注莊家反而會對玩家比較有利。這正是賭場一定要對莊家注抽水的根本原因——抽水不是賭場隨便訂的規矩，而是用來把這個原本對玩家微幅有利的機率結構，重新拉回對賭場有利的方向。

抽水怎麼讓EV由正轉負？完整算式拆解

期望值（EV）的算法很單純：把每一種結果發生的機率，乘上那個結果對應的輸贏金額，再全部加總。假設每次下注1單位，以下用上面的理論機率逐一代入計算。

閒家注（賠率1:1，無抽水）：
EV（閒）＝ 0.4462 × (+1) ＋ 0.4586 × (－1) ＋ 0.0952 × 0 ＝ －0.0124，也就是－1.24%。這就是公開文獻常引用的「閒家注House Edge約1.24%」的來源。

莊家注（賠率1:1，贏錢抽5%佣金）：
贏的時候實拿0.95單位（1單位獲利扣5%佣金），輸的時候照樣輸1單位，和局不輸不贏：
EV（莊）＝ 0.4586 × (+0.95) ＋ 0.4462 × (－1) ＋ 0.0952 × 0 ＝ 0.43567 － 0.4462 ＝ －0.01053，也就是約－1.05%（與公開文獻常引用的「莊家注House Edge約1.06%」非常接近，差異單純來自本文將機率四捨五入到小數點後兩位）。

對照前面提到的「莊家原始機率其實略高於閒家」：如果莊家注完全不抽水，EV（莊，無抽水）＝ 0.4586 － 0.4462 ＝ ＋0.0124，等於＋1.24%，對玩家有利。這也驗證了5%抽水的實際作用：把原本＋1.24%的結構，整個反轉成約－1.05%，中間差距剛好就是5%佣金在機率加權後實際吃掉的部分。

和局注（賠率8:1）：
EV（和）＝ 0.0952 × (+8) ＋ 0.9048 × (－1) ＝ 0.7616 － 0.9048 ＝ －0.1432，也就是約－14.3%，是三種注法裡House Edge最高的，這也是公開文獻中常見的和局注高house edge數字的計算來源。

三種注法的House Edge沒有一個是正的：閒家約－1.24%，莊家抽水後約－1.05%，和局約－14.3%。抽水的存在，本質上就是把機率結構上的微小優勢，透過數學方式還給賭場。

退水比例改變，EV會怎麼跟著變？

把上面的莊家注算式一般化，設抽水比例為c，可以寫成一個通用公式：

EV（莊，抽水c）＝ 0.4586 × (1－c) － 0.4462

代入不同的c，就能看出抽水比例對EV的直接影響：

• c＝0%（完全免傭）：EV ＝ 0.4586 － 0.4462 ＝ ＋1.24%，對玩家有利
• c≈2.70%（打平點，由 0.4586×(1－c)＝0.4462 反解得出）：EV ≈ 0%
• c＝3%：EV ＝ 0.4586×0.97 － 0.4462 ≈ －0.14%，已轉為對賭場有利
• c＝5%（業界常見標準）：EV ≈ －1.05%
• c＝6%：EV ＝ 0.4586×0.94 － 0.4462 ≈ －1.51%

從這組算式可以清楚看出：抽水比例每增加1個百分點，莊家注的EV大約會惡化0.4586個百分點（因為只有莊家贏的那45.86%機率會被抽水影響）。這也解釋了為什麼市面上會出現「免傭百家樂」這種玩法——免傭等於把c設成0%，EV會變成對玩家微幅有利的＋1.24%，但相對地，這類玩法幾乎都會額外調整「莊家以6點獲勝」時的賠率（通常從1:1降為0.5:1），用另一個管道把這個優勢再拿回去，整體EV仍然會被拉回接近或低於0的水準，並不是真的「完全沒有抽水」。

馬丁格爾（加倍下注法）在抽水之下為什麼撐不住？

馬丁格爾的邏輯很直覺：輸了就把下一注金額加倍，理論上只要贏一次就能把前面輸的全部贏回來還倒賺一個單位。但這個邏輯有兩個數學上無法迴避的問題。

第一個問題是資金控管與賭桌上限：加倍下注法的注碼是以指數成長的。假設起始注碼為100元，連續輸N把之後，下一注需要的金額是100×2的N次方。連續輸10把，下一注就要準備102,400元；連續輸15把，下一注會變成3,276,800元。只要本金或賭桌上限碰到天花板的任何一邊，這個策略就會直接中斷，而且是在累積虧損最大的那一刻中斷。

第二個問題是連續輸的機率沒有想像中低。為了單純示範計算邏輯，這裡先把和局視為「退回賭本、不計入輸贏」的中性結果，只看莊閒兩家互相對決、確實分出輸贏的那部分，閒家注單局落敗（即莊家贏）的機率約為0.4586÷(0.4586＋0.4462)≈0.5069。依獨立事件機率相乘，連續輸N把的機率約為0.5069的N次方：連續輸5把約為3.35%，連續輸10把約為0.112%，連續輸15把約為0.0037%。數字看起來很小，但只要長期、高頻率地重覆下注，這種「低機率但會發生」的連續虧損，遲早會被某一次完整打到，而那一次造成的損失幅度，剛好就是前面呈指數成長的注碼金額。

更根本的問題是：馬丁格爾（或任何其他調整注碼大小的下注系統，例如費波那契數列下注法）改變的只是「每一注下多少錢」，並不會改變每一注背後「贏面是多少」這個機率結構。只要單注的EV是負的，不管用什麼方式調整注碼順序或大小，把所有注碼乘上各自的EV再加總，結果仍然是負的——這是機率論裡「期望值的線性性質」的直接結果，不是本站的推測或個人看法，而是任何一本機率論教材都會提到的基本性質。換句話說，下注系統可以改變「贏錢的機率分佈形狀」（讓你更常贏小錢、偶爾輸大錢，或反過來），但沒有任何合法的下注系統可以把整體期望值從負的變成正的。

這篇計算的限制與適用範圍

本文引用的莊45.86%／閒44.62%／和9.52%，是標準8副牌、固定補牌規則下的公開理論機率值，實際桌型（尤其連續洗牌機或副牌數不同的桌）可能略有差異，讀者套用到特定平台前應以該平台公開規則為準。馬丁格爾部分的「連續輸N把機率」為示範指數成長概念，刻意把和局簡化為中性結果以方便計算，實際對局並不會改變「單注EV為負、調整注碼無法轉正」這個核心結論。本文數字均依標準期望值公式代入計算，並非對任何特定下一局結果的預測，也不保證讀者實際下注會得到相同結果——機率描述的是長期、大量重複下的平均趨勢，不是單一局的保證。

結論：抽水是長期不可迴避的數學事實

把莊閒和的理論機率、抽水比例、以及不同下注系統的注碼邏輯放在一起算過一遍之後，結論很清楚：抽水（Commission）本質上是賭場用數學方式，把百家樂機率結構中原本微幅對玩家有利的部分拿回去，讓莊家、閒家、和局三種注法的期望值全部落在負值區間。任何下注系統，無論是馬丁格爾、反馬丁格爾還是費波那契數列，調整的都只是注碼大小與下注順序，無法改變每一注背後的機率與期望值。長期大量下注的結果，終究會被負的期望值拉向賭場有利的方向，這不是手感或運氣問題，而是機率論可以完整推導出來的數學事實。理解這套算法，不是為了找「破解」方法，而是讓讀者對自己承擔的數學劣勢，有清楚誠實的認識。

資料來源與計算版本說明：本文莊／閒／和理論機率值引用自公開百家樂數學文獻之標準8副牌理論結果；EV與抽水、馬丁格爾相關算式均為本文依標準期望值公式與機率乘法法則現場代入計算，計算日期2026年10月28日，版本v1，未使用任何付費或非公開資料來源，亦未進行本站獨立之百萬局模擬（如未來以程式驗證並產出模擬資料，將另文更新並標註版本差異）。